Question

如图，已知点O是直线AB上一点，角COE等于90°，OF是角AOE的平分线。

(1)当点C,E,F在直线AB的两侧，试说明角BOE等于2倍角COF；
(2)当点C与点E,F在直线AB的两旁，（1）的结论是否依然成立？请给出你的结论并说明理由。

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Answer 1

图一：(1)当点C,E,F在直线AB的同侧：
简要说明：作∠BOE的角平分线OG；由已知OF平分∠AOE；可得∠FOG=90；则：
∠COE＝∠COF+∠FOE=90=∠FOE+∠EOG，所以：∠COF=∠EOG，
所以：∠EOB=2∠COF
图二：(2)当点C与点E,F在直线AB的两旁：结论依然成立
同样∠BOE的角平分线OG；由已知OF平分∠AOE；可得∠FOG=90；则：
∠COE＝∠COF+∠FOE=90=∠FOE+∠EOG，所以：∠COF=∠EOG，
所以：∠EOB=2∠COF

Answer 2

解：（1）设∠COF=α，则∠EOF=90°-α，
∵OF是∠AOE平分线，
∴∠AOF=90°-α，
∴∠AOC=（90°-α）-α=90°-2α，，
∠BOE=180°-∠COE-∠AOC，
=180°-90°-（90°-2α），
=2α，
即∠BOE=2∠COF；
（2）解：成立，
设∠AOC=β，则∠AOF=
（90°-β）/2，
∴∠COF=45°+
β/2=
1/2（90°+β），
∠BOE=180°-∠AOE，
=180°-（90°-β），
=90°+β，
∴∠BOE=2∠COF；
⑶∠DOE=(210-N/3)°
∠COE=90°,∠AOC=N°
∠AOE=∠COE-∠AOC=90°-N°
①∠BOE=180°-∠AOE=180°-(90°-N°)=90°+N°
②∠BOD=(60-2N/3)°
∵∠BOE+∠DOE+∠BOD=360°
∴∠DOE=360°-∠BOE-∠BOD
=360°-(90°+N°)-(60-2N/3)°=(210-N/3)°

Answer 3

（1）证明：∵∠FOE=∠AOF，∠COF+∠FOE=90°，∴∠COF+∠AOF=90°。
∴2∠COF+∠AOC=90°。又∵∠COE=90°，∴∠BOE+∠AOC=90°。
又∵2∠COF+∠AOC=90°，∴∠BOE=2∠COF。

（2）成立，大条件不变。