Question

设函数f(x)=x3-tx+ t-1 2 ,t∈R(1)试讨论函数f(x)在区间【0,1】上的单调性;(2)求最小的实

设函数f（x）=x3-tx+(t-1)/2，t∈R（1）试讨论函数f（x）在区间【0，1】上的单调性；（2）求最小的实数h，使得对任意x∈[0，1]及任意实数t，f(x)+|(t-1)/2|+h≥0恒成立．

Answer 1

f'(x)=3x²-t
(1)若t≤0，则f'(x)≥0，所以　f(x)在R上是增函数，当然，在[0,1]上也是增函数；
(2)若t>0，令f'(x)≥0，解得x≤-(√3t)/3或x≥(√3t)/3，
即f(x)在(-∞,-(√3t)/3 ］和［(√3t)/3，+∞)上是增函数；
同理在［-(√3t)/3，(√3t)/3］上是减函数．
所以
①当0<t<3时，0<(√3t)/3<1，所以
f(x)在[0，(√3t)/3]上是减函数，在［(√3t)/3，1]上是增函数；
②当t≥3时，(√3t)/3≥1，f(x)在[0，1]上是减函数．

追问

第二问呢？

追答

太难算了．
对任意x∈[0，1]及任意实数t，f(x)+|(t-1)/2|+h≥0恒成立，
则 h≥[-f(x)]max-|(t-1)/2|，x∈[0，1]，t∈R
即h≥-[f(x)]min - |(t-1)/2|，x∈[0，1]，t∈R
(1) t≤0时，f(x)在[0,1]上增，最小值为f(0)=(t-1)/2，
从而　h≥-(t-1)/2-|(t-1)/2|=0；
(2) 02·3√(3·3)/9=2
②1≤tg(0)=1；
(3)当t≥3时，f(x)在[0,1]上是减函数，最小值为f(1)=(1-t)/2
h≥(t-1)/2-|(t-1)/2|=0．
从而h的最小值为0．

Answer 2

(1)f'(x)=3x^2-t,f'(x)在【0,1】上的单调递增
f'(0)=-t,f'(1)=3-t
当-t≥0时，即t≤0时，f(x)在【0,1】上的单调递增;
当3-t≤0时，即t≥3时，f(x)在【0,1】上的单调递减；
当0<t<3时，令f'(x)=0,解得t=√t/3
此时f(x)在【0，√t/3）单调递减，在【√t/3，】上单调递增
（2）