Question

设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2

(1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列
(2)求数列{an}的通项公式。 第二问中的答案是：a2=5

b1=5-2=3
bn=3*2^(n-1)

an+1-2an=3*2^(n-1)
an-2an-1=3*2^(n-2)
2(an-1-2an-2)=3*2^(n-2)
...

2^(n-2)(a2-2a1)=3*2^(n-2)
上面相加得

an-2^(n-1)=3(n-1)*2^(n-2)

所以an=3(n-1)2^(n-2)+2^(n-1)但我不是知道2(an-1-2an-2)=3*2^(n-2)
...

2^(n-2)(a2-2a1)=3*2^(n-2)怎么来的

Answer 1

你看an-2a(n-1)=3*2^(n-2)
a(n-1)-2a(n-2)=3*2^(n-3) → 2(a(n-1)-2a(n-2))=3*2^(n-2)
a(n-2)-2a(n-3)=3*2^(n-4) → 2^2(a(n-1)-2a(n-2))=3*2^(n-2)
……
a2-2a1=3*2^0 → 2^(n-2)(a2-2a1)=3*2^(n-2)
然后把第一个式子和右边的式子写成这样：
an-2a(n-1)=3*2^(n-2)
2a(n-1)-2^2a(n-2)=3*2^(n-2)
2^2a(n-2)-2^3a(n-3)=3*2^(n-2)
……
2^(n-2)a2-2^(n-1)a1=3*2^(n-2)
这样相加时就把中间的东西消去了

其实这个题还有简单的办法：
an-2a(n-1)=3*2^(n-2)
等式两边同时除以2^n，得
an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=3/4
即{an/2^n}为等差数列，公差为3/4
又a1/2=1/2
所以an/2^n=1/2+3/4(n-1)=(3n-1)/4
an=(3n-1)2^(n-2)

Answer 2

数列变化形式较多，关注楼主的回答。一个常规解法，一个简便解法，全面细致，真正学习了。