Question

已知二次函数f(x)满足f(0)=1,且f(x+1)-f(x)=2x.(1)求f(x),(2)求f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值

Answer 1

由题意：
f(x)-f(x-1)=2(x-1)
f(x-1)-f(x-2)=2(x-2)
f(x-2)-f(x-3)=2(x-3)
.。。。。
f(3)-f(2)=2x2
f(2)-f(1)=2x1
f(1)-f(0)=2x0
以上共x个式子，全部相加得出：f(x)-f(0)=2x[(x-1)+(x-2)+(x-3)+...+2+1+0]=2[(x-1)+0]x/2=x²-x
所以： f(x)=x²-x+f(0)=x²-x+1

有以上结论得知f(x)对应图像的对称轴为x=1/2,在区间[-1,1]上，则最小值为f(1/2)=3/4
最大值为f(-1) =3

Answer 2

1、
设f(x)=ax²+bx+c
f(0)=c=1
f(x+1)-f(x)
=a(x+1)²+b(x+1)+1-ax²-bx-1
=2ax+a+b=2x
得2a=2，a+b=0
即a=1，b=-1
所以f(x)=x²-x+1
2、
f(X)=x²-x+1
=(x-1/2)²+3/4
当x=1/2时，有最小值3/4
当x=-1时，有最大值3