Question

若数列{an}满足前n项和Sn=2an-4（n∈N*），b（n+1）=an+2bn且b1=2。求bn。求bn的前n项和Tn

Answer 1

Sn=2an-4
S(n-1)=2a(n-1)-4
两式相减，得an=Sn-S(n-1)=2an-2a(n-1)
an=2a(n-1)
又S1=2a1-4
即a1=4
所以an=2^(n+1)
b(n+1)=2bn+2^(n+1)
等式同时除以2^(n+1)，得
b(n+1)/2^(n+1)=bn/2^n+1
所以{bn/2^n}为等差数列
bn/2^n=n
bn=n*2^n
对于Tn，使用错位相减法
Tn=1*2+2*2^2+3*2^3+...+(n-1)2^(n-1)+n*2^n①
2Tn=1*2^2+2*2^3+3*2^4+...+(n-1)2^n+n*2^(n+1)②
①-②，得-Tn=2+2^2+2^3+...+2^n-n*2^(n+1)=2^(n+1)-2-n*2^(n+1)=(1-n)2^(n+1)-2
Tn=(n-1)2^(n+1)+2