Question

已知抛物线的顶点在原点.焦点是圆x^2+y^2-4x=0的圆心.求抛物线的离心率。

.求抛物线的离心率。过点抛物线焦点且斜率为2的直线截抛物线所得弦长

Answer 1

圆方程是(x-2)^2+y^2=4,圆心坐标是(2,0),即焦点是(2,0),则有p/2=2,
p=4
故抛物线的方程是y^2=2px=8x
过焦点且斜率是2的直线方程是y=2(x-2),代入到y^2=8x:
4(x^2-4x+4)=8x
x^2-6x+4=0
x1+x2=6,x1x2=4
(x1-x2)^2=6^2-4*4=20
故所截得的弦长=根号(1+k^2)|x1-x2|=根号5*2根号5=10.

Answer 2

依据抛物线的定义知，抛物线的离心率e=1

易知圆心即焦点为(2,0)
易知抛物线方程为y^2=8x（因p/2=2）
易知直线方程为y=2(x-2)=2x-4（因直线斜率k=2，且过焦点）
令直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)
联立直线与抛物线方程有x^2-6x+4=0
则x1+x2=6，x1x2=4（韦达定理）
由弦长公式知|AB|=|x1-x2|√(1+k^2)=√[(x1+x2)^2-4x1x2]*√(1+k^2)=10