Question

已知a，b为正整数，关于x的方程x2-2ax+b=0的两个实数根为x1，x2，关...

已知a，b为正整数，关于x的方程x2-2ax+b=0的两个实数根为x1，x2，关于y的方程y2+2ay+b=0的两个实数根为y1，y2，且满足x1y1-x2y2=2008．求b的最小值．

Answer 1

解：关于x的方程x2-2ax+b=0的根为a±a2-b，关于y的方程y2+2ay+b=0的根为-a±a2-b．
设a2-b=t，则
当x1=a+t，x2=a-t；y1=-a+t，y2=-a-t时，有x1y1-x2y2=0，不满足条件；
当x1=a-t，x2=a+t；y1=-a-t，y2=-a+t时，有x1y1-x2y2=0，不满足条件；
当x1=a-t，x2=a+t；y1=-a+t，y2=-a-t时，得x1y1-x2y2=4at；
当x1=a+t，x2=a-t；y1=-a-t，y2=-a+t时，得x1y1-x2y2=-4at．
由于t=a2-b＞0，于是有at=502．
（10分）
又由于a为正整数，得知t是有理数，从而t是整数．
由at=502，得a=251，t=2，即b取最小值为b=a2-t2=2512-22=62997．
所以b的最小值为62997．
（15分）