Question

斜抛运动曲率半径的求解方法

Answer 1

斜抛运动有斜向上抛、斜向下抛，以下为斜向上抛来说问题。
对于斜向上抛运动，上升阶段的轨迹与下落阶段的轨迹是对称的，所以只对上升阶段来说求曲率半径的方法。
　　设抛出时的初速大小是V0，它与水平方向成θ角，对于给定的斜抛运动，V0和θ是确定的常量。
将初速V0正交分解在水平和竖直方向，水平分速度是　V0x＝V0*cosθ　，V0x是常量。
竖直分速度是　V0y＝V0*sinθ　，V0y是常量。
以下推导过程中，只用V0x和V0y表示。
抛出时间为
t
时，水平分速度是　Vx＝V0x
竖直分速度是　Vy＝V0y－g*t　　（上升阶段，Vy＞0）
合速度大小是　V＝根号（Vx^2＋Vy^2）＝根号[
V0x^2＋（V0y－g*t）^2
]
合速度与水平方向夹角设为Ф
，则　tanФ＝Vy
/
Vx＝（V0y－g*t）/
V0x
合速度方向就是该处轨迹的切线方向，与切线垂直的就是法线，
显然，法线与水平方向夹角是　A＝90度－Ф　
物体在空中只受重力作用，重力在此时分解在切向和法向，那么沿法向的分量就是法向合力（“向心力”），得　F法＝F向＝mg*sin（90度－Ф）
由“向心力”公式得　F法＝F向＝m*V^2
/
R　
上式中的　R　就是所要求的物体所在处的曲率半径！
　　mg*sin（90度－Ф）＝m*V^2
/
R
　　mg*sin（90度－Ф）＝m*[
V0x^2＋（V0y－g*t）^2
]
/
R
所求的曲率半径是　R＝[
V0x^2＋（V0y－g*t）^2
]
/
[
g*sin（90度－Ф）]
＝[
V0x^2＋（V0y－g*t）^2
]
/
（
g*cosФ）
因　1/cosФ＝根号[1＋(tanФ)^2]＝根号｛
1＋[（V0y－g*t）/
V0x]^2
}
　　所以　R＝[
V0x^2＋（V0y－g*t）^2
]
*根号｛
1＋[（V0y－g*t）/
V0x]^2
}
/
g