∫0~2π x|sinx|dx
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解：∵当0<x<π时，sinx>0，则|sinx|=sinx
当π<x<2π时，sinx<0，则|sinx|=-sinx
∴∫<0.2π>x|sinx|dx=∫<0.π>xsinxdx+∫<π.2π>x(-sinx)dx
=∫<0.π>xsinxdx-∫<π.2π>xsinxdx
=-∫<0.π>xd(cosx)+∫<π.2π>xd(cosx)
=-(xcosx-sinx)│<0.π>+(xcosx-sinx)│<π.2π> (应用分部积分法)
=-π(-1)+(2π+π)
=4π。
当π<x<2π时，sinx<0，则|sinx|=-sinx
∴∫<0.2π>x|sinx|dx=∫<0.π>xsinxdx+∫<π.2π>x(-sinx)dx
=∫<0.π>xsinxdx-∫<π.2π>xsinxdx
=-∫<0.π>xd(cosx)+∫<π.2π>xd(cosx)
=-(xcosx-sinx)│<0.π>+(xcosx-sinx)│<π.2π> (应用分部积分法)
=-π(-1)+(2π+π)
=4π。
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leipole
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