Question

设二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象过点（0，1）和（1，4），且对于任意...

设二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象过点（0，1）和（1，4），且对于任意的实数x，不等式f（x）≥4x恒成立． （1）求函数f（x）的表达式； （2）设g（x）=kx+1，若F（x）=g（x）-f（x），求F（x）在[1，2]上的最小值； （3）设g（x）=kx+1，若G（x）=g(x)-f(x)在区间[1，2]上是增函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意知f(0)=1f(1)=4ax2+(b-4)x+c≥0恒成立⇒c=1a+b+c=4△=(b-4)2-4ac≤0⇒c=1b=2a=1…（4分）
（2）F（x）=g（x）-f（x）=-x2+（k-2）x，x∈[1，2]，对称轴x=k-22
当k-22≤32，即k≤5时，F（x）max=F（2）=2k-8
当k-22＞32，即k＞5时，F（x）max=F（1）=k-3
综上所述，F(x)max=2k-8，k≥5k-3，k＜5…（8分）
（3）G(x)=g(x)-f(x)=-x2+(k-2)x，
由G（x）在区间[1，2]上是增函数得F（x）=-x2+（k-2）x在[1，2]上为增函数且恒非负
故k-22≥2-1+k-2＞0⇒k≥6…（10分）