Question

已知函数f(x)=x/x^2+b,其中b属于R.求f(x)的单调区间

Answer 1

因为x²是分母，所以x≠0,。但是未知x的正负，所以不能贸然约分。先化成如下形式：
f(x)=1/ x的绝对值 +b
设g(x)=1/ x的绝对值，则g(x)在（负无穷，0）上单调增，在（0，正无穷）上单调减
所以f(x)在（负无穷，b）上单调增，在（b，正无穷）上单调减

收到了你的求助，感谢对我的信任。希望帮到你，不懂请追问

追问

是f(x)=x/（x^2+b）,

追答

啊，不好意思我才看到

可以用导数求，道理很简单，但是由于全是未知数所以做起来比较虐心...

乘法导数公式求得f '(x)=(-x²+b)  /  (x²+b)²

为确定f '(x)的正负，需讨论b的取值范围

• 当b≤0时

  定义域：(x²+b)²≠0，∴x≠±根号下- b 

  此时f '(x)的分母恒大于零，分子恒小于零，所以f '(x)恒小于零，则原函数在定义域内单调减

• 当b＞0时

       定义域： (x²+b)²恒大于零，∴x∈R

       此时令f(x)＞0，即（-x²+b)  /  (x²+b)²  ＞0

      ∴分子-x²+b  ＞0，解得x∈（- 根号b，根号b），即为单调增区间

      ∴x∈（负无穷，- 根号b）∪（根号b，正无穷）为单调减区间

 

综上，

b≤0，（负无穷，负根号下负b）∪（负根号下负b，正根号下负b）∪（正根号下负b，正无穷）为f(x)的单调减区间，此时f(x)无单调增区间

b＞0，（负无穷，负根号b）∪（根号b，正无穷）为f(x)单调减区间

           （负根号b，根号b）是f(x)单调增区间