Question

关于x的方程x²+（m+1）x-2m+1=0 ，若

若方程在【-1,1】内有解，求m 的取值范围 ，求解释，谢谢

Answer 1

从题中的方程可以看出,这是一个二元一次方程,所以方程如果有解,那应该是有两个解(特殊情况是两个相同的解),在这里需要注意一个问题,那就是方程在[-1,1]内有解,并不代表其解全部在[-1,1]内,也就是说,只要有一个解在[-1,1]这个区间,就符合题意.即方程在[-1,1]内有解,是方程的两个解都在[-1,1]内的必要条件,而不是充要条件,因此,根据题中给出的条件,无法从二元一次方程两解之和或两解之积的关系来判断m的取值范围.但既然二元一次方程有解,那么就一定满足b²-4ac≧0.清楚了这一点,就可以准确地解出这道题了.
其实这道题就相当于,m关于x的一个方程当x在[-1,1]内时,求m的取值范围.
因为二元一次方程有解,所以其系数一定满足b²-4ac≧0这个条件,
即:（m+1）²-4（-2m+1）≧0
m²+2m+1+8m-4≧0
m²+10m+25-25-3≧0
（m+5）²≧28
m≧√28-5 或 m≦-√28-5
将方程变成m关于x的方程,即:(x-2)m+x²+x+1=0,所以m=(x²+x+1)/(2-x)
观察这个分式,分子是一个开口向上的二次函数,顶点是(-1/2,3/4),也即,当x≦-1/2时,函数是减函数,当x≧-1/2时,函数是增函数,
分母是单调递减函数.
因为-1≦x≦ 1,所以,我们要分段分析这个分式,
当-1/2≦x≦ 1时,分子是增函数,分母是减函数,所以分式是增函数,即存在最大值;也即,当x=1时,m=3是分式的最大值,所以m≦ 3.

当-1≦x≦-1/2时,分子是减函数,分母也是减函数,无法判断分式的增减性,也即无法判断分式的极值,但通过观察我们发现,在-1≦x≦-1/2这个区间内,分子和分母都是正数,所以分式也应该是正数,即m>0.所以0<m≦3.
再综合上面的结论
m≧√28-5 或 m≦-√28-5

所以,m的取值范围应该是√28-5≤m≦3

Answer 2

关于 x的方程ax²+bx+c=0 有解得情况下：b²-4ac≧0
方程两实数根的关系满足：
x1+x2=-b/a x1*x2=c/a
x²+（m+1）x-2m+1=0 方程在【-1,1】内有解
即 -2≦x1+x2≦2 即 - 2≦ m+1≦2 -3≦ m≦1
-1≦x1*x2≦ 1 -1≦-2m+1≦ 1 0≦m≦ 1
b²-4ac≧0 即
（m+1）²-4（-2m+1）≧0
m²+2m+1+8m-4≧0
m²+10m+25-25-3≧0
（m+5）²≧28
m≧√28-5 或 m≦-√28-5
结合以上综上所述
√28-5≤m≦ 1
方程x²+（m+1）x-2m+1=0 在【-1,1】内有解