Question

6. 关于x ,y 的方程{y=|x-a|+|x-b|+|x-c| ,a<b<c ,a ,b ,c 为正整数,y+x=2003只有一解,则c的最小值为

Answer 1

记g(x)=y+x
x<a时，y+x=a-x+b-x+c-x+x=a+b+c-2x,单调减，值域为g(x)<a+b+c-2a=-a+b+c,
a=<x<b时，y+x=x-a+b-x+c-x+x=-a+b+c,为常值
b=<x<c时，y+x=x-a+x-b+c-x+x=2x-a-b+c，单调增，值域为[-a+b+c, -a-b+3c)
x>=c时，y+x=x-a+x-b+x-c+x=4x-a-b-c,单调增，值域为g(x)>=-a-b+3c
因此g(x)除了x在[a, b]段时为常值-a+b+c外，在其它区间都是单调的。
因此只需2003≠-a+b+c即可保证g(x)=2003只有一个解。
取最小的a=1, b=2, c=3，即可满足上式。
因此最小的c=3