Question

已知a小于等于(1-x)\x+lnx对任意x属于闭区间1\2,2恒成立，则a的最大值为

Answer 1

此题是求函数F（x）=（1-x）/x+lnx在闭区间[1/2,2]上的最小值问题，可以通过算出函数在闭区间上两端点的函数值和倒数等于零的点上的函数值，通过比较3者求出答案。
先求出F'（x）=-1/(2x^2)+1/x，令其等于0，解出x=1/2，正好是闭区间上一端点上的x值，代入函数得1-ln2；
然后将另一端点上的函数值算出，得ln2-1/2；
比较F（1/2）与F（2）的大小，等价于比较3/4与ln2的大小，又等价于比较ln(e^3)与ln(2^4)的大小，
因为2^4<19<2.7^3<e^3，且函数y=lnx在给定区间上单调递增，所以F（1/2）>F（2），所以a=< F（2）=ln2-1/2。