Question

一个物理竞赛题 求！急

体积相同、密度分别为ρA、ρB的A、B两立方体正对叠放于水平桌面上，且ρA：ρB=l：3。A对B的压强为pA，B对桌面的压强为pB。现逐渐减小A的体积，但始终保持A的形状为立方体且密度不变。在A的体积逐渐减小的过程中，pA与pB的比值（ ）
A．始终变大
B．始终变小
C．先减小后变大
D．先增大后减小
我算出来是B 但是证明不出来
刚才也百度了 但是答案都不好 有用中间值法的 有设的边长大于等于1的(可是同学题上没有 设的话那么就不能选B了么) 等等方法都不能成为完美的答案 求完美答案

Answer 1

A对B的压强PA=pAgV/S=pAghA
B对桌面的压强PB=(pAgVA+pBgVB)/SB=pAg(VA+3VB)/SB=pAg(VA/SB+3hB)
PA:PB=hA/(VA/SB+3hB)=hASB/(VA+3hB*SB)=hASB/(hA^3+3VB)

当hA很大时，上式可近似为hA/hA^3=1/hA^2，hA趋向于无穷大时，此值趋近于0
当hA很小趋近于零时，上式趋近于0

可知hA从很大逐步减小到很小，中间必有一个最大值。因此hA逐渐减小，该比值应该是先增大后减小。选D
【俊狼猎英】团队为您解答

追问

对不起 答案是B第二个

追答

我知道了，你没有把图给出来。我犯了个错误以为A的边长一开始可以很大。
PA:PB=hA/(VA/SB+3hB)=hASB/(VA+3hB*SB)=hASB/(hA^3+3VB)
这个式子是对的。但是本题中hA最大等于hB。此时PA:PB=1:4

当hA=hB/2时，PA：PB=(VB/2)/(25VB/8)=4:25
hA→0时，PA：PB→0
所以减小，选B

这样看：PB:PA=hA^2/SB+3VB/(hASB)=(hA/hB)^2+3(hB/hA)（注意这里为了方便，研究的是PB：PA）
令x=hA/hB，则0＜x≤1。上式等于x^2+3/x。此式的最小值发生在x^3=3/2处（此处你可能不会，我用到了微积分里的求导）。而0<x≤1，所以随着hA（也就是x的递增）PB:PA在这个x范围内是递减的。
也就是随着hA的减小（即x的减小），PA：PB是递减的。

这道题，作为选择题，还是像上面那样带几个特殊值进去，很快得到答案比较好。

追问

是啊 我就是带值法的 老师说不对 不可以这样 对不起我忘了发图了 推导的话 老师自己也没有推出来 我感觉是微积分的

追答

特殊值法、排除法等方法本来就是对付选择题的正常方法，怎么不可以了呢？

这道题函数的增减性判断用微积分很简单。我怕你没学过才没用。

追问

不光没有学过 这个是初中物理题 微积分是高二的 如果大神不闲累的话可以发一下啊 大神好可怜 这么晚还在答题 我加了10分哦 我也很辛苦 一个初三的学生一晚上没有合眼啊！！！

追答

你咋这么辛苦？初三的孩子还不睡觉？
对初三的学生，微积分还是不讲了吧？恐怕没有人能给一个初中生在一个帖子里把微积分讲明白吧？请你理解。

对初三的学生，这道题合适的方法，就是函数写出来，代入特殊值，选出正确答案。最多就是选一些特殊值，把函数图像描出来，判断函数增减性。这是这道题的正途！