Question

高数10，证明题，需要步骤

Answer 1

对于0<L<(b-a)/2，点a+L和b-L是关于x=(a+b)/2对称的一对点，考虑f(a+L)+f(b-L)的范围。

f(a+L)-f((a+b)/2)+f(b-L)-f((a+b)/2)
=-((a+b)/2-(a+L))f'(x1)+(b-L-(a+b)/2)f'(x2) (其中a+L<x1<(a+b)/2<x2<b-L)

=((b-a)/2-L)(f'(x2)-f'(x1))>=0 (f''(x)>=0，故f'(x)单增)

故 f(a+L)+f(b-L)>=2 f((a+b)/2)。 （1）

同理，f(a+L)-f(a)+f(b-L)-f(b)
=(a+L-a)f'(x1)-(b-(b-L))f'(x2) (其中a<x1<a+L<b-L<x2<b)

=L(f'(x1)-f'(x2))<=0 (f''(x)>=0，故f'(x)单增)

故 f(a+L)+f(b-L)<=f(a)+f(b)。 （2）

把（1）对L从0到(b-a)/2积分，得
(a到(a+b)/2) f(x)dx + ((a+b)/2到b) f(x)dx >= (b-a)/2 * 2 f((a+b)/2) ，
(a到b) f(x)dx >= (b-a) f((a+b)/2)，

得 (a到b) f(x)dx/(b-a) >= f((a+b)/2)，左边得证。

同理，右边也能得证。

Answer 2

f(x)在c=(a+b)/2 处泰勒展开
f(x)=f(c)+(x-c)f'(c)+[(x-c)²/2]f''(ηx) ≥f(c)+(x-c)f'(c)
不等式两边积分可得 ∫[a到b] f(x)dx≥∫[a到b] f(c)+(x-c)f'(c)dx=f(c)(b-a)
两边除以b-a即是左边的不等式

右边不等式证明 f(x)≤ [(b-x)f(a)+(x-a)f(b)]/ (b-a) 即可 注：右边是过两端点的直线
f(x)在a处展开 得 f(a)=f(x)+(a-x)f'(x)+[(a-x)²/2]f''(η1)
f(b)=f(x)+(b-x)f'(x)+[(b-x)²/2]f''(η2)
(b-x)f(a)+(x-a)f(b)=(b-x)f(x)+(b-x)(a-x)f'(x)+(b-x)[(a-x)²/2]f''(η1)
+(x-a)f(x)+(b-x)(x-a)f'(x)+(x-a)[(b-x)²/2]f''(η2)
=(b-a)f(x) +(b-x)[(a-x)²/2]f''(η1)+(x-a)[(b-x)²/2]f''(η2) ≥(b-a)f(x)
两边积分得 [(b-a)²/2][f(a)+f(b)]≥(b-a) ∫[a到b] f(x)dx
将(b-a)²除掉 即可所需不等式右边

本题也可以使用f''(x)>0 f(x)为凹函数，则f(x)在 过两端点的直线下方，利用积分几何意义即可得到右边不等式

Answer 3

对于0<L<(b-a)/2，点a+L和b-L是关于x=(a+b)/2对称的一对点，考虑f(a+L)+f(b-L)的范围