Question

初中数学最值问题

（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则PB+PE的最小值是___________；
（2）如图2，圆O的半径为2，A B C点在圆上，OA垂直OB，∠AOC为60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；
(3)如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO为10，Q，R分别是上OA OB的动点，求三角形PQR周长的最小值。

我做出来前两题 一个是根号5，一个是2根号3 对吗?
第3题我不会做 求详解

Answer 1

⑴PB+PC最小=DE=√(AE^2+AD^2)=√5

⑵PA+PC最小=AC‘=2√3。

⑶作P关于OB的对称点P‘，关于OA的对称点P’‘，

连接P’P‘’交OA、OB于Q、R，

根据对称性得：

OP‘=OP’‘=OP=10，

∠BOP’=∠BOP，∠AOP‘’=∠AOP，

∴∠P‘OP’‘=2∠AOB=90°，

∴PQ+PR 最小=P’P‘’=√2OP‘=10√2。

Answer 2

做OA关于P点的对称点P1,OB关于P点的对称点P2。
三角形周长为RP+PQ+RQ=RP2+QP1+RQ≥P1P2
所以三角形PQR周长的最小值是P1P2
现在主要求P1P2的长度。
假设OA和PP1交于M，OB和PP2交于N，则P1P2=2MN
此时OMPN四点共圆，且OP是圆的直径，圆半径=5。取OP中点O1，则<MO1N=2*<MON=90°
MN=根号2*圆半径=5根号2
所以P1P2=10根号2

希望对你有所帮助
如有问题，可以追问。
谢谢采纳

追问

你智商真高 不过四点共圆是怎么看出来的 为什么说OP是圆的直径啊

Answer 3

前两个答案都是对的
第三题:
作出点P关于直线OA的对称点M,关于直线OB的对称点N.
任意取OA上一点Q,OB上一点R.
由对称点的性质:QM=QP,RN=RP
所以三角形PQR的周长=PQ+QR+RP=MQ+QR+RN
由两点间直线最短,所以只有当Q,R在线段MN上时,上面的式子取最小值.也就是说只要连接MN,它分别与OA,OB的交点Q,R即为所求.
这时三角形PQR的周长=MN,只要求MN的长就行了.
容易知道OM=ON=OP=10,∠MOA=∠AOP,∠POB=∠BON.
所以∠MON=∠MOA+∠AOP+∠POB+∠BON=2(∠AOP+∠POB)=2∠AOB=90度
所以三角形MON是等腰直角三角形,直角边等于10,易求得斜边MN=10*根号2
也就是说,三角形PQR的周长的最小值=MN=10*根号2