Question

均值不等式是由以下那个式子所转化的?a.a^2+b^2b.(a+b)~2c.(a-b)a2d.a^

均值不等式
设a,b为正数,M=√[(a^2+b^2)/2] ,A=(a+b)/2,G=√ab,H=2ab/(a+b) .
求证:M≥A≥G≥H.

Answer 1

均值不等式
设a,b为正数,M=√[(a^2+b^2)/2] ,A=(a+b)/2,G=√ab,H=2ab/(a+b) .
求证:M≥A≥G≥H.
证明 关于二元的幂平均,算术平均,几何平均和调和平均,用代数证明很简单,我曾给出两种几何证明,参见:
下面给出第三种几何证法.供参考!
证明 设P是圆O外一点,连PO分别交圆O两点A与B,设PA=a,PB=b,a>b.过P作圆O的切线PC,C为切点,作CE⊥AB,交AB于E,作OD⊥AB,交圆O于D,[C与D在直径AB两侧] ,连PD.令圆的半径为R.显然PA-PB=2R,OC=OD=OB=(a-b)/2.易知:
由PO=PB+BO PO=(a+b)/2;
由PC^2=PA*PB PC=√ab;
由PE*PO=PC^2 PE=2ab/(a+b);
PD^=PO^2+OB^2 PD=√[(a^2+b^2)/2]
显然可直观地知:PD>PO>PC>PE.
当圆O的半径(a-b)/2无穷小时,即A与B重合,也即a=b时,取等号.
回答：2008-08-08 08:45
都是你的几何证法,收藏了!
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a_p211
[学长] M^2-A^2=(a^2+b^2)/2-(a^2+2ab+b^2)/4
=(a^2-2ab+b^2)/4=(a-b)^2/4≥0
M≥A
A^2-G^2=(a^2+2ab+b^2)/4-ab=(a^2-2ab+b^2)/4=(a-b)^2/4≥0
A≥G
1/G=√[(1/a)*(1/b)]=√xy
1/H=[(1/a)+(1/b)]/2=(x+y)/2
由上述A≥G知,1/G=√xy≤(x+y)/2=1/H
所以G≥H
综上所述,M≥A≥G≥H