Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x）=f（2-x），且x∈[0，1]，f...

设f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x）=f（2-x），且x∈[0，1]，f（x）=x3，以下命题中： ①f（x）的图象关于x=1对称， ②f（x）的图象关于点（1，0）对称， ③f（x）的周期为4， ④方程f（x）=12在区间[0，2014]上有1008个根． 一定成立的有：_____．

Answer 1

①③④
解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x）
∵f（x）=f（2-x）
∴f（1-x）=f（1+x），f（2+x）=f（-x）弯尺=-f（x）
即f（x+4）=f（x）
周期为4，对称耐闹逗轴x=1，
根据函数的性质可知f（x）与y=12在一个周期内有2个交点，
2014÷4=503×4+2
所以交点个数昌卖为503×2+2=1008，
故答案为：①③④