Question

高中函数题目，高手来!

已知P={x|1≤x≤9,x∈N*} 记f(a,b,c,d)=ab-cd,其中a,b,c,d∈P。例如:f(1,2,3,4)=1×2-3×4=-10,设u,v,x,y∈P，且满足f(u,v,x,y)=39和f(u,y,x,v)=66,则有序数组(u,v,x,y)是? ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 已知答案是(8，6，1，9)求详细过程，谢谢!

Answer 1

这道题属于不等式估计,不罗嗦了看下面的超详细过程。
解:由已知和题设得,
uv-xy=39,
①
uy-xv=66
②
②-①,可得
(uy-uv)+(xy-xv)=27.
即
u(y-v)+x(y-v)=27.
所以，(u+x)(y-v)=27
③
②²-①²,可得
(u²y²-2uvxy+x²v²)-(u²v²-2uvxy+x²y²)=66²-39².
则有(u²y²-u²v²)+(x²v²-x²y²)=(66+39)×(66-39).
u²(y²-v²)+x²(v²-y²)=105×27.
u²(y²-v²)-x²(y²-v²)=105×27.
(u²-x²)(y²-v²)=105×27.
(u+x)(u-x)(y+v)(y-v)=105×27.
④
∵P={x|1≤x≤9,x∈N*}
u,v,x,y∈P,
∴2≤u+x≤18,1≤y-v≤8,
又∵(u+x)(y-v)=27.
③
27=27×1=9×3.
所以只可能是:u+x=9,
⑤
y-v=3,
⑥
代入④，得
(u-x)(y+v)=105.
105=105×1=35×3=21×5=15×7.
同理，有
2≤y+v≤18,1≤u-x≤8,
所以只可能是:y+v=15,
⑦
u-x=7,
⑧
联立⑤⑥⑦⑧，解四元一次方程组得
u=8,
v=6,
x=1,
y=9.
这道题只有两个方程却有四个未知数，说明自由度很大，而且每个方程中都有四个未知数，也没有专门对其中一个进行分析。一个非常自然的想法是能否通过已知的两个式子得到一个有界的估计，把每个数都用某个范围限制住。哈哈，很欣慰的是题目已经给出了限制条件。其实这道题目不给出限制条件，只给说明u,v,x,y是正整数也能做出来，此时就只不不止一组解了。
这里解题过程非常简单，但顺利地想出这种方法却并不容易，这需要的是平时练习的积累。类似的形式见多了，自然也就知道怎么来处理它了。
最后罗嗦一下，我还以为是什么变态的数学题。被楼主骗进来了~~~~