f(x)在[0,+∞)有连续导数,f'(x)>=k>0,f(0)<0,证明

f(x)在[0,+∞)有连续导数,f'(x)>=k>0,f(0)<0,证明f(x)在(0,+∞)仅有一个零点... f(x)在[0,+∞)有连续导数,f'(x)>=k>0,f(0)<0,证明 f(x)在(0,+∞)仅有一个零点 展开
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茹翊神谕者

2023-06-28 · TA获得超过2.5万个赞
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简单分析一下,详情如图所示

姒裕代桐华
2020-07-02 · TA获得超过3845个赞
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我的证明如下
唯一性:
因为f'(x)>=k>0,所以f(x)在[0,+∞)是严格单调增加的,也就是,对应一个y值只有唯一的x与之对应,也就是说,如果有x使f(x)=0,那么这样的x只有一个。
存在性:
f'(x)>=k>0,通过积分f(x)=kx+c,又因为f(0)以知所以c=f(0),即f(x)=kx+f(0),当x趋于正无穷时,f(x)趋于正无穷,即f(正无穷)>0,f(0)<0根据连续函数的介值定理,必有一x属于[0,+∞),使f(x)=0
综上所述,f(x)在[0,+∞)只有一个零点
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