Question

f(x)在[0,+∞)有连续导数，f'(x)>=k>0，f(0)<0,证明

f(x)在[0,+∞)有连续导数，f'(x)>=k>0，f(0)<0,证明 f(x)在(0,+∞)仅有一个零点

Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

Answer 2

我的证明如下
唯一性：
因为f'(x)>=k>0，所以f（x）在[0，+∞)是严格单调增加的，也就是，对应一个y值只有唯一的x与之对应，也就是说，如果有x使f（x）=0，那么这样的x只有一个。
存在性:
f'(x)>=k>0,通过积分f(x)=kx+c,又因为f(0)以知所以c=f(0),即f(x)=kx+f(0),当x趋于正无穷时,f(x)趋于正无穷,即f(正无穷)>0,f(0)<0根据连续函数的介值定理,必有一x属于[0，+∞),使f(x)=0
综上所述,f(x)在[0，+∞)只有一个零点