Question

急！！高中数学题，关于导函数！！

已知函数f(x)=(ax²+bx+c)/e^x(a>0)的导函数y=f'(x)的两个零点为-3和0
(1)求f(x)的单调区间
(2)若f(x)的极小值为-e3，求f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值
(2)若f(x)的极小值为-e^3，求f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值

Answer 1

f′(x)=‐ax²+（2a-b）x+b-c/e^x    令导数为0，得f′(0)和f′(-3)为0，得b-c=0 5a-b=0 

将b=5a带入-ax²+（2a-b）x+b-c=0得-ax²-3ax=0 

 

由图表得函数在（-∞，-3）和（0，﹢∞）上单减，在（-3，0）上单增

（2）因为若f(x)的极小值为-e^3所以f(-3)=-e^3再由b-c=0 5a-b=0  消元得a=1

b=5，c=1再分别算一下f(0)f(-5)比一下

Answer 2

f′(x)=（(2ax+b)e^x-(ax²+bx+c)e^x）/e^(2x)=—（ax²+(b-2a)x+(c-b)）/e^x；
设g(x)=ax²+(b-2a)x+(c-b)，则g(x)的零点为-3,0；
根据韦达定理有(2a-b)/a=2-b/a=-3，(c-b)/a=0，可得b/a=5，c=b=5a。

（1）当x∈［-3,0］时，g(x)<0，f′(x)>0，f(x)在该区间内递增；
当x∈（-∞，-3］∪［0，+∞）时，g(x)>0，f′(x)<0，f(x)在该区间内递减；
所以单调递增区间为［-3,0］，单调递减区间为（-∞，-3］∪［0，+∞）。

（2）根据单调性可以得到：
极小值为f（-3）=(9a-3b+c)/e^(-3)=(9a-3b+c)e^3=-e^3，所以9a-3b+c=-1；
利用之前的结论c=b=5a可以得到9a-10a=-1，所以a=1，从而推出b=c=5；
最大值可能是极大值或者在区间端点上，因此，为求最大值，需比较f(-5)与f(0)的大小：
f（-5）=(25-5×5+5)e^5=5e^5，f（0）=5<f（-5）；
所以f（x）在给定区间上的最大值为5e^5。