已知复数z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosθ+isinθ ,且z1+z2+z3=0,求cos(α-β)
已知复数z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosθ+isinθ,且z1+z2+z3=0,求cos(α-β)...
已知复数z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosθ+isinθ ,且z1+z2+z3=0,求cos(α-β)
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解：z1+z2+z3=0得
cosα+cosβ+cosθ=0
也即
cosα+cosβ=-cosθ ①
及
sinα+sinβ+sinθ=0
也即
sinα+sinβ=-sinθ ②
①^2+②^2得
cos^2 α+cos^2 β+2cosαcosβ+sin^2 α+sin^2 β+2sinαsinβ=cos^2 θ +sin^2 θ
2+2cos(α-β)=1
故cos(α-β)=-1/2
cosα+cosβ+cosθ=0
也即
cosα+cosβ=-cosθ ①
及
sinα+sinβ+sinθ=0
也即
sinα+sinβ=-sinθ ②
①^2+②^2得
cos^2 α+cos^2 β+2cosαcosβ+sin^2 α+sin^2 β+2sinαsinβ=cos^2 θ +sin^2 θ
2+2cos(α-β)=1
故cos(α-β)=-1/2
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