Question

当x-0时求极限（√1+xsinx - √cosx ） /arcsin²x

分子用等价无穷小 cos0=1 分子等于1/2x² 分母等价无穷小x² 结果等于1/2为什么不对

Answer 1

当式子有加减运算时，是不能用等价无穷小的，比如这里√(1+xsinx)-√cosx不能等价为√(1+x^2)-√cosx
直接使用洛必达法则有困难，可以分子有理化后拆出部分式
lim(√(1+xsinx)-√cosx)/(arcsinx)^2
=lim(√(1+xsinx)-√cosx)/x^2
=lim(1+xsinx-cosx)/[x^2(√(1+xsinx)+√cosx)]
=lim(1+xsinx-cosx)/x^2*lim1/[(√(1+xsinx)+√cosx)]
=1/2lim(1+xsinx-cosx)/x^2
=1/2lim(sinx+xcosx+sinx)/2x（洛必达法则）
=1/4lim(2sinx/x+cosx)=3/4

Answer 2

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