Question

已知在数列{an}中，设其前n项和为Sn，若a1=1,Sn+1=4an+2（1）证明{an+1-2an}是等比数列

（2）求数列{an}的通项公式

Answer 1

1.
证：
S2=a1+a2=1+a2=4a1+2=4+2=6
a2=5
n≥2时，
S(n+1)=4an+2 Sn=4a(n-1)+2
S(n+1)-Sn=a(n+1)=4an+2-4a(n-1)-2=4an -4a(n-1)
a(n+1)-2an=2an-4a(n-1)=2[an-a(n-1)]
[a(n+1)-2an]/[an-a(n-1)]=2，为定值。
a2-2a1=5-2=3
数列{a(n+1)-2an}是以3为首项，2为公比的等比数列。
2.
解：
a(n+1)-2an=3×2^(n-1)
等式两边同除以2^(n+1)
a(n+1)/2^(n+1) -an/2ⁿ=3/4，为定值。
a1/2=1/2
数列{an/2ⁿ}是以1/2为首项，3/4为公差的等差数列。
an/2ⁿ=1/2 +3(n-1)/4=(3n-1)/4
an=(3n-1)×2ⁿ/4=(3n-1)×2^(n-2)
n=1时，a1=(3-1)×2^(1-2)=2/2=1，同样满足
数列{an}的通项公式为an=(3n-1)×2^(n-2)。