Question

已知：a³+b³=2.求证：a+b≤2

证这个问题用反证法很好办，但有另外一种证法：
证明：要证“a³+b³=2，则a+b≤2” 即证“a+b＞2，则a³+b³≠2” 则 a+b＞2时 b＞2-a 则 b³≠（2-a）³ 得 a³+b³≠a³+2-a）³ 即a³+b³≠6a²-12a+8 即a³+b³≠6（a-1）²+2
∵6（a-1）²+2≥2 ∴a³+b³≠2” ，即逆否命题得证，原命题成立 ，即a³+b³=2，则a+b≤2 但是 当原命题为“a³+b³=2，则a+b≥2”时，
要证“a³+b³=2，则a+b≥2” 即证“a+b＜2，则a³+b³≠2” 则 a+b＜2时 b＜2-a 则 b³≠（2-a）³ 得 a³+b³≠a³+2-a）³ 即a³+b³≠6a²-12a+8 即a³+b³≠6（a-1）²+2
∵6（a-1）²+2≥2 ∴a³+b³≠2” ，即逆否命题得证，原命题成立 ，即a³+b³=2，则a+b≥2 可这时a³+b³=2，则a+b≤2或a+b≥2都对，证明过程哪里出错了呢？我知道事实是a³+b³=2时a+b≤2，但我不明白这种证法哪里错了。
请高手解惑！感激不尽！

Answer 1

a³+b³≠6（a-1）²+2
∵6（a-1）²+2≥2
∴a³+b³≠2
这个根本不成立。

a³+b³=2，则a+b≤2和a+b＞2，则a³+b³≠2也不是互为逆否命题，因为a+b<=2未必推出a³+b³一定等于2.

如果a+b＞2恒有a³+b³≠2，不能得到a+b<=2必有a³+b³=2，
此证明原则上是错误的。
反证法和逆否命题也不等价，此题反证法是正解。

追问

a³+b³≠6（a-1）²+2
∵6（a-1）²+2≥2
∴a³+b³≠2
咋不成立？

追答

你的意思就是，因为a大于3，3大于2，所以a一定不是2，这个显然不成立！

追问

a＞3，a就一定不是2啊

追答

写错了，你的意思是a不等于3，3＞2，a不等于2.

Answer 2

楼主的证法有这样的误区：
例如：∵a≠3
且 3≠2
∴a≠2
这显然是错的。