Question

如图,抛物线y=x方-2x-3,与x轴交与点A,B与y轴交与点C.

抛物线的顶点为D，三角形BOC沿X轴方向平移(0<t≤3)个单位长度时，三角形BOC与三角形BCD重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出t的取值范围。

Answer 1

抛物线y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4,与x轴交于点A(-1，0),B(3，0),与y轴交于点C(0，-3),顶点D(1，-4),
BD:y=2x-6与直线y=-3交于E(3/2，-3),
BC:y=x-3,向右平移t个单位，得y=x-t-3,与直线y=-3交于F(t,-3),与BD交于G(3-t,-2t),
直线x=t与BC交于点H(t,t-3),
0<t<=3/2时S=S(FGBH)=S△BCE-S△BEF-S△CFH
=(1/2)*3/2*3*[1-(3/2-t)^2/(3/2)^2]-(1/2)t^2
=9/4*[1-(4/9)(9/4-3t+t^2)]-(1/2)t^2
=3t-(3/2)t^2,
3/2<t<=3时直线x=t与BD交于M(t,2t-6),与BC交于N(t,t-3),
S=(1/2)(3-t)[(t-3)-(2t-6)]=(1/2)(3-t)^2.
t的取值范围是(0,3].