Question

已知点A（3，4），点B为直线x=-1上的动点，设B（-1，y）．

（1）如图1，若点C（x，0）且-1＜x＜3，BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，当点B的坐标为（-1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．

Answer 1

(1) AB² = BC² + AC²
(-1 - 3)² + ((y - 4)² = (-1 - x)² + (y - 0)² + (3 - x)² + (y - 0)²
y = -x²/4 + x/2 + 3/4

(2) y有最大值
x = 1, y取最大值1

(3)
设E(x, 0), F(x + 1, 0)
周长y = AB + EF + √[(x + 1)² + 1²] + √[(x + 1 - 3)² + (4 - 0)²] (AB, EF为定值)
= AB + EF + √[(x + 1)+ 1] + √[(x - 2)² + 16]
求导y' = (x + 1)/√[(x + 1)+ 1] + (x - 2)/√[(x - 2)+ 16] = 0
(x - 2)² = 16(x + 1)²
(i) x - 2 = 4(x + 1)
x = -2
E在x = -1左侧，显然应舍去

(ii) 2 - x = 4(x + 1)
x = -2/5
y = AB + EF + √[(x + 1)+ 1] + √[(x - 2)² + 16]
= √[(-1 - 3)²+ (1 - 4)²] + 1 + √[(-2/5 + 1)+ 1] + √[(-2/5 - 2)² + 16]
= 5 + 1 + √34/5 + 4√10/5
= 6 + (√34 + 4√10)/5