Question

初三数学几何体

如图，在锐角△ABC中，∠ACB=45°，AB=1.分别以A、B为直角顶点，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，，再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线，垂足为M，N。 （1）求证：EM+FN=AB； （2）求当△ABC面积的最大值； （3）当△ABC面积最大时，在直线MN上找一点P, 使得EP+FP的值最小，求出这个最小值。（结果可保留根号）
不要网上粘贴过来的！看不懂！

Answer 1

1）过C作CD⊥AB,垂足为D,

所以∠CDA=90

所以∠CAB+∠CAD=90°

因为∠CAE=90

所以∠MAE+∠CAB=90

所以∠MAE=∠ACD

因为EM⊥AB

所以∠EMA=∠CDA,

因为AE=AC

所以△AEM∽△CAD

所以EM=AD

同理FN=BD

所以EM+FN=AD+BD=AB

 

2)

 

构造如图所示的圆，AB弧所对的圆周角为45°

当C距离AB最远时，△ABC面积最大，

因为∠CAB=45°

所以∠AOB=90

因为AB=1，

所以等腰直角三角形OAB中，OA=√2/2,OD=AD=1/2,

所以CD=r+OD=OA+OD=√2/2+1/2

所以△ABC面积=(1/2)*AB*CD=(√2+1)/4

 

3)

作E,F关于MN的对称点E'.F',A连E'F',EF'

由两点之间线段最短，得此时EF'与MN的交点就是点O,PE+PF最短

在直角三角形EE'F'中，EE'=EM+ME'=EM+NF'=EM+FN=AB=1，

E'F'=MN=MA+AB+BN=2CD+AB==√2+1+1=√2+2

由勾股定理，解得EF'=√(7+4√2)

所以PE+PF的最小值为√(7+4√2)

Answer 2

我们可以看出在三角形BCE与三角形ACD相等。所以AD=BE，ED=DE，EC=DC，

所以其实我们在比较GC和FC。而三角形EFC与三角形DGC相等（因为角ECF=角ECD=60度；EC=CD，在三角形BCE与三角形ACD相等中我们还可以得出角BEC=角ADC，2角夹一边）

所以FC=GC，

所以路程完全相等，同时到达