Question

已知点A（3，4），点B为直线x=-1上的动点，设B（-1，y）．

（1）如图1，若点C（x，0）且-1＜x＜3，BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，当点B的坐标为（-1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．

Answer 1

(1)直线AC的斜率Kac=(0-4)/(x-3)=4/(3-x)
直线BC的斜率Kbc=(y-0)/(-1-x)=-y/(x+1)
Kac*Kbc=-1
4/(3-x)*[-y/(x+1)]=-1
y=(x+1)*(3-x)/4
=-1/4(x²-2x-3)
=-1/4(x-1)²+1
(2)由(1)可得
当x=1时 y=1
(3)AB、EF为定值
四边形ABEF的周长最小，即BE+AF 最短
A点关于x轴的对称点A‘（3，-4）
而设E（x，0），则F（x+1，0）
当BE//FA'时，取最小
直线A’F的斜率Kac=(0+4)/(x+1-3)=4/(x-2)
直线BC的斜率Kbe=(1-0)/(-1-x)=-1/(x+1)
Ka'c=Kbc
4/(x-2)=-1/(x+1)
4x+4=2-x
x=-2/5
即E(-2/5，0)

Answer 2

a点到直线的距离最短，也就是当ab垂直于直线时，线段ab最短
因为点b在直线y=-x上，所以设点b的坐标为（a,-a）
因为ab垂直于直线
所以他们的斜率的乘积等于-1
即：(1-a)/(0+a)=1

1-a=a
a=1/2
所以b的坐标为（1/2，-1/2）