Question

已知函数f(x)=cos(π/2+2x)+cos(2x) 1）求函数y=f（x）的单调递减区间

2）若f（α-π/8）=根号2/3，求f（2α+π/8）的值

Answer 1

1、f(x)=-cos(π-π/2-2x)+cos2x
=-cos(π/2-2x)+cos2x
=cos2x-sin2x
=√2[cos2x(√2/2）-sin2x（√2/2）]
=√2cos(2x+π/4），
2kπ<=2x+π/4<=2kπ+π，函数为单调减函数，
则2kπ-π/4<=2x<=2kπ+3π/4，
∴kπ-π/8<=x<=kπ+3π/8，（k∈Z),为单调递减区间。
2、f（α-π/8）=√2cos(2α-π/4+π/4）=√2cos2α=√2/3，
cos2α=1/3，
sin 2α=±√（1-1/9）=±2√2/3，
2α∈[2kπ，2kπ+π]为正，
即α∈[kπ，kπ+π/2]为正，
α∈[kπ-π/2，kπ]为负，
f（2α+π/8）=√2cos[4α+π/4+π/4）
=√2cos[4α+π/2）
=-√2cos（π-4α-π/2）
=-√2cos(π/2-4α）
=-√2sin4α
=-√2*2sin（2α）cos（2α）
=-2√2（±2√2/3）*（1/3）
=±8/9。
α∈[kπ，kπ+π/2]为负，
α∈[kπ-π/2，kπ]为正。

Answer 2

(1)因为f(x)=cos(π/2+2x)+cos(2x)=-sin2x+cos2x=根号2*cos(2x+π/4)，因为cosa的减区间为【2Kπ,2Kπ+π】，令2X+π/4属于【2Kπ,2Kπ+π】，解得X属于【Kπ-π/8，Kπ+3π/8】
(2)由（1）知f（α-π/8）=√2*cos2α=√2/3,即cos2α=1/3
f（2α+π/8）=√2*cos（4α+π/2）=-√2*sin4α=-2√2*sin2α*cos2α
当2α属于第一象限时，sin2α=2*√2/9 所以f（2α+π/8）=-8/27
当2α属于第四象限时，sin2α=-2*√2/9所以f（2α+π/8）=8/27