Question

基本不等式解法归纳

Answer 1

不等式的解法：1、找出未知数的项、常数项，该化简的化简。2、未知数的项放不等号左边，常数项移到右边。3、不等号两边进行加减乘除运算。4、不等号两边同除未知数的系数，注意符号的改变。

不等式的解法

注意事项

1.符号：

不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等号的方向。

2.确定解集：

比两个值都大，就比大的还大；

比两个值都小，就比小的还小；

比大的大，比小的小，无解；

比小的大，比大的小，有解在中间。

三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。

3.另外，也可以在数轴上确定解集：

把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。带=号的，数轴上的点是实心的，反之，就是空心的。

基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

在使用基本不等式时，要牢记“一正”“二定”“三相等”的七字真言。“一正”就是指两个式子都为正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指当且仅当两个式子相等时，才能取等号。
两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
两类最值问题
具体来说，利用基本不等式求最值包括下面两种类型的题目：
已知x＞0；y＞0，则：
如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值。(简记：积定和最小)
如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值。(简记：和定积最大)
两大技巧
“1”的妙用。题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。
调整系数。有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。
公式
（a＞0，b＞0）
注：当且仅当a=b时取等
其中称为的算术平均数， 称为 的几何平均数。
变形
1、（当且仅当 时取等号）
2、（a,b同号）
3、
4、
二元均值不等式

（调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值）当且仅当a=b时等号成立
常用不等式

证明
算术证明

当时，两边开平方得

即当且仅当a=b时，
当且仅当=0时，不等式取等号。
几何证明
在△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC的中点，AE为高，设BE=a，EC=b
由射影定理，得AE2=ab
∴AE=
∵在△ABC中，点D为斜边BC的中点
∴
∵ 在Rt△ADE中，AD≥AE

∴当且仅当AD与AE重合，即a=b时等号成立

△ABC
推广
一般地，若是正实数，则有均值不等式

当且仅当a=b时取等号