Question

已知数列an=n(n+1),bn=(n+1)^2,求证1/(a1+b1)+1/(a2+b2)+1/(a3+b3)+……+1/(an+bn)<5/1

/(an+bn)=1/(n+1)(2n+1)< 1/2n(n+1)=1/2（1/n-1/n+1）
1/(a1+b1)+1/(a2+b2)+1/(a3+b3)+……+1/(an+bn)<
2/3-2/4+1/2(1/2-1/3+1/3-1/4+......+1/n-1/n+1
=1/6+1/2(1/2-1/n+1)<1/6+1/4=5/12

这里开始 2/3-2/4+1/2(1/2-1/3+1/3-1/4+......+1/n-1/n+1
1/6+1/2(1/2-1/n+1)<1/6+1/4=5/12 怎么变来的 详细点

Answer 1

其实知道了放缩式子
1/(an+bn)=1/(n+1)(2n+1)< 1/2n(n+1)=1/2*（1/n-1/n+1）
后就大功告成了：
1/(a1+b1)+1/(a2+b2)+1/(a3+b3)+……+1/(an+bn) 把1/(a1+b1)单独拿出来
=1/(2+4)+1/2*(1/2-1/n+1)=1/6+1/4-1/2*1/(n+1)<1/6+1/4=5/12
看着 2/3-2/4很奇怪不知道咋来的，其实是故弄玄虚：
1/(an+bn)=1/(n+1)(2n+1)
=2/[(2n+1)(2n+2)]
=2/(2n+1)-2/(2n+2)
所以
1/(a1+b1)=2/3-2/4
其实你可以不用管它，直接算出来即可。
不明白请追问。

追问

还是不懂啊 =1/(2+4)+1/2*(1/2-1/n+1)=1/6+1/4-1/2*1/(n+1)<1/6+1/4=5/12这里怎么来的
1/(a1+b1)+1/(a2+b2)+1/(a3+b3)+……+1/(an+bn)<1/6+1/2(1/2-1/3+1/3-1/4+......+1/n-1/（n+1）右边的1/2*1/n+1是不是移到左边去了 为什么要从第二项开始放缩

追答

如果从第一项就开始放缩，得到的结论是和式5/12，所以要弱于原题结论，等于是没有证出来。但是把第一项单独拿出来后，从第二项之后开始放缩，恰好出现了5/12，所以才这样做的。这就告诉我们一个教训，放缩不一定非要从第一项就开始进行，如果从第二项或第三项等后面的项开始放缩，一般情况下得到的结论更强。
1/(a1+b1)+1/(a2+b2)+1/(a3+b3)+……+1/(an+bn) a1=2，b1=4，把1/(a1+b1)单独拿出来
=1/(2+4)+1/2*[1/2-1/3+1/3-1/4+……+1/n-1/(n+1)]
=1/6+1/4-1/2*1/(n+1)<1/6+1/4=5/12

Answer 2

解：(an+bn)=n(n+1)+(n+1)^2
=(n+1)(2n+1)>2n(n+1)
1/(an+bn)=1/(n+1)(2n+1)<1/2n(n+1)<(1/2)(1/n-1/(n-1)
从第二项开始放缩，第一项不变，1/(a1+b1)=1/(2+4)=1/6
即1/(an+bn)=1/(n+1)(2n+1)< 1/2n(n+1)=1/2（1/n-1/n+1）
1/(a1+b1)+1/(a2+b2)+1/(a3+b3)+……+1/(an+bn)<1/6+1/2(1/2-1/3+1/3-1/4+......+1/n-1/（n+1））
=1/6+1/2(1/2-1/(n+1))<1/6+1/4=5/12