Question

已知f(x)是偶函数且定义域为[-1,1],它的图像与函数g(x)的图像关于直线x=1对称

已知f(x)是偶函数且定义域为[-1,1]，它的图像与函数g(x)的图像关于直线x=1对称，当x∈[2，3]时，g(x)=3a(x-2)-（x-2)^3,a为实数且a>1.
（1）求f(x)的解析式
（2）求f(x)的单调区间
（3）当f(x)的最大值为5时，求a的值

Answer 1

（1）g(x)在区间x∈[2，3]上的图像和f(x)在区间x∈[0，1]的图像相同，即将g(x)图像向左平移两个单位，得到解析式f(x)=3ax-x^3 ，x∈[0，1] 又因为f(x)是偶函数，则将上式中的x替换成-x，得到f(x)在x∈[-1，0]上的解析式f(x)=-3ax+x^3 综上得到f(x)的解析式。

（2）对f(x)求导，
x∈[-1，0]时，f‘(x)=-3a+3x² 又因为a>1.，所以f‘(x)<0 即在此区间内单调递减

x∈[0，1]时，f‘(x)=3a-3x² 又因为a>1.，所以f‘(x)>0 即在此区间内单调递增
（3）由函数增减性得知，f(x)在x=1处取最大值，则有f(1)=3a-1=5 得a=2

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