Question

当x2+xy+y2=1时，求x2+y2的最大值与最小值

Answer 1

由x2+xy+y2=1知，-xy=-1+（x2+y2）……（1），
又由（x+y）2≥0知，x2+y2≥-2xy=-2+2（x2+y2)，即x2+y2≥-2+2（x2+y2），
所以-(x2+y2)≥-2，所以x2+y2≤2，即x2+y2的最大值为2。
同样1=x2+xy+y2=x2+y2+xy≤x2+y2+（x2+y2）/2=3（x2+y2）/2，
即3（x2+y2）/2≥1，
即x2+y2≥2/3，
即x2+y2的最小值为2/3。

追问

请问为什么x2+y2+xy≤x2+y2+（x2+y2）/2，谢谢

追答

因为（x-y)2≥0，所以x2-2xy+y2≥0，即x2+y2≥2xy，（x2+y2）/2≥xy，即xy≤（x2+y2），
所以x2+y2+xy≤x2+y2+（x2+y2）/2。

Answer 2

解1=x2+xy+y2=x2+y2+xy≤x2+y2+（x2+y2）/2=3（x2+y2）/2
即3（x2+y2）/2≥1
即x2+y2≥2/3
即x2+y2的最小值为2/3
最大值看不出来

追问

请问为什么x2+y2+xy≤x2+y2+（x2+y2）/2，谢谢

Answer 3

(1)x²+y²≥2xy(这是因为(x-y)²≥0，展开即得)
因为x²+xy+y²=1，所以xy=1-(x²+y²)
故x²+y²≥2[1-(x²+y²)]=2-2(x²+y²)
所以3(x²+y²)≥2即x²+y²≥2/3.
当且仅当x=y=√3/3时取到。
(2)将x²+xy+y²-1=0看成是关于x的一元二次方程，
则Δ=y²-4*1*(y²-1)=4-3y²≥0，即y²≤4/3
同理将x²+xy+y²-1=0看成是关于y的一元二次方程，
则Δ=x²-4*1*(x²-1)=4-3x²≥0，即x²≤4/3
所以x²+y²≤8/3.
虽然这个8/3不是最大值，取不到，但是我们知道了x²+y²是有上限的。