Question

等腰梯形ABCD，AB平行于CD，B点在x轴上，已知A点的坐标是（-1，0）点D的坐标是（0，2），CD=4

（1）求B点的坐标
（2）若点E 在线段OB上，且满足tan∠ODE=2,试判断△ADE的形状
（3）在（2）的条件下，点P 从点E 沿EDA的方向向A匀速运动，速度是每秒根号5个单位，同时点 Q从E 点沿EOD的方向向点D匀速运动，速度是每秒2个单位，当以PQ为直径的圆与y轴相切时，求运动时间

Answer 1

(1) OB=4+│-1│=5 B点坐标是（0，4）
（2）tan∠ODE=2，OD=2 所以OE=4，
AD²=1²+2²=5 DE²=2²+4²=20 AE²=5²=25
所以AE²= AD²+ DE² 所以△ADE是直角三角形
（3）

Answer 2

答：
(1)yC=yD=2,xC=xD+CD=0+4=4,所以C点为（4,2）
等腰梯形中：xD-xA=xB-xC，即：0-（-1）=xB-4，所以xB=5，所以点B坐标为（5,0）

（2）tan∠ODE=EO/DO=xE/2=2，所以xE=4，点E为（4,0）
所以EA=4-(-1)=5，AD=√((-1)*(-1)+2*2=√5，DE=√（2*2+4*4）=√20
所以：EA*EA=AD*AD+DE*DE
△ADE是直角三角形。

(3)把点D（0,2）及点E（4,0）代入直线DE得y=-x/2+2
t<=4/2=2时，点Q坐标（4-2t，0），△PQE中，QE=2t，PQ=√5t
根据tan∠ODE=2知道ctan∠DEO=1/2，根据余弦定理知道PQ=t，所以△PQE是直角三角形，
PQ是竖直平行于y轴的。PQ为直径的圆于y轴相切时，根据半径相等：4-2t=PQ/2=t/2，所以
t=8/5<=2,符合要求。

t>=2时，Q点在OD上，坐标为(0,2T),T为从O点开始爬的时间。同理P点从D点开始沿DA移动。
在△ADO中要再次出现相切，必须保证PQ与y轴相切：
cos∠ADO=(2-2T）/（√5T）=2/√5，T=0.5，所以第二次相切时间为t2=T+t=0.5+2=2.5

故相切时间为t1=8/5秒及t2=2.5秒