Question

设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1+x)=f(1-x),则f(1/2)+f(3/2)+f(5/2)+f(7/2)=

设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1+x)=f(1-x),则f(1/2)+f(3/2)+f(5/2)+f(7/2)=

Answer 1

因f(x)为定义在R上的奇函数，所以
f(1-x)=-f(x-1)
而f(1+x)=f(1-x)
所以 f(1+x)=-f(x-1)
=> f(x+1)+f(x-1)=0 .....(1)
在(1) 中 分别令 x=3/2 ,x=5/2
f(1/2)+f(5/2)=0
f(3/2)+f(7/2)=0
所以f(1/2)+f(3/2)+f(5/2)+f(7/2)=0

Answer 2

f(x)是奇函数，f(x)=-f(-x)
f(1+x)=f(1-x),
7/2=1+5/2,1-5/2=-3/2,f(7/2)=f(-3/2)=-f(3/2)
5/2=3/2+1,1-3/2=-1/2,f(5/2)=f(-1/2)=-f(1/2)
f(1/2)+f(3/2)+f(5/2)+f(7/2)=0

Answer 3

令X=1-a，f(1+x)=f(1-x),得：f(2-a)=f(a),f(2-7/2)=f(7/2)=f(-3/2),f(2-5/2)=f(5/2)=f(-1/2),又f(x)是定义在R上的奇函数，则f(-x)=-f(x),则全部约去得0

Answer 4

奇函数：f(-x)+f(x)=0
f(5/2)=f(1+3/2)=f(1-3/2)=f(-1/2)
f(7/2)=f(1+5/2)=f(1-5/2)=f(-3/2)
则原式等于

f(1/2)+f(3/2)+f(-1/2)+f(-3/2)=0

Answer 5

f(1+x)=f(1-x)=> f(1/2)+f(3/2)+f(5/2)+f(7/2)
=f(1/2)+f(3／2)+f(－1／2)+f(－3／2)
-f(x)=f(-x)＝＞f(x)＋f(-x)＝0
f(1/2)+f(3/2)+f(5/2)+f(7/2)
＝f(1/2)+f(－1／2)+f(3／2)+f(－3／2)
＝0＋0＝0