Question

因式分解1.（2a-3b+c)的三次方+（a+2b-5c)的三次方+（-3a+b+4c）的三次方

Answer 1

解：（2a-3b+c）3+（a+2b-5c）3+（-3a+b+4c）3
=（2a-3b+c）3+[（a+2b-5c）3+（-3a+b+4c）3]
=（2a-3b+c）3+[（a+2b-5c）+（-3a+b+4c）][（a+2b-5c）2-（a+2b-5c）（-3a+b+4c）+（-3a+b+4c）2]
=（2a-3b+c）3+（-2a+3b-c）[（a+2b-5c）2-（a+2b-5c）（-3a+b+4c）+（-3a+b+4c）2]
=（2a-3b+c）3-（2a-3b+c）[（a+2b-5c）2-（a+2b-5c）（-3a+b+4c）+（-3a+b+4c）2]
=（2a-3b+c）[（2a-3b+c）2-（a+2b-5c）2+（a+2b-5c）（-3a+b+4c）-（-3a+b+4c）2]
=（2a-3b+c）{[（2a-3b+c）-（a+2b-5c）][（2a-3b+c）+（a+2b-5c）]+（a+2b-5c）（-3a+b+4c）-（-3a+b+4c）2]
=（2a-3b+c）[（a-5b+6c）（3a-b-4c）+（a+2b-5c）（-3a+b+4c）-（-3a+b+4c）2]
=（2a-3b+c）[-（a-5b+6c）（-3a+b+4c）+（a+2b-5c）（-3a+b+4c）-（-3a+b+4c）2]
=（2a-3b+c）（-3a+b+4c）（3a+6b-15c）
=3（2a-3b+c）（a+2b-5c）（-3a+b+4c）

Answer 2

因为

（a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(a+c)(b+c)
证明如下：
〔（a+b+c-a）（a+b+c）^2+a（a+b+c）+a^2）〕-（b+c)（b^2-bc+c^2）
＝（b+c）〔（a+b+c）^2+a（a+b+c）+a^2）-（b^2-bc+c^2）〕
＝（b+c）〔（3a^2+2ab+2bc+2ac+ab+ac+bc）
＝（b+c）〔3（a^2+ab+bc+ac）
＝3（b+c）〔a（a+b）+c（a+b）〕
＝3(a+b)(a+c)(b+c)
本题 （）中的相当于这儿的a，b，c
即
当a+b+c=0时
a³＋b³＋c³=-3(a+b)(a+c)(b+c)
所以
（2a-3b+c)的三次方+（a+2b-5c)的三次方+（-3a+b+4c）的三次方
=-3（2a-3b+c＋a+2b-5c）（2a-3b+c-3a+b+4c）（a+2b-5c-3a+b+4c）
=-3（3a-b-4c）（-a-2b＋5c）（-2a＋3b-c）

Answer 3

〔（a+b+c-a）（a+b+c）^2+a（a+b+c）+a^2）〕-（b+c)（b^2-bc+c^2）
＝（b+c）〔（a+b+c）^2+a（a+b+c）+a^2）-（b^2-bc+c^2）〕
＝（b+c）〔（3a^2+2ab+2bc+2ac+ab+ac+bc）
＝（b+c）〔3（a^2+ab+bc+ac）
＝3（b+c）〔a（a+b）+c（a+b）〕
＝3(a+b)(a+c)(b+c)
本题 （）中的相当于这儿的a，b，c
即
当a+b+c=0时
a³＋b³＋c³=-3(a+b)(a+c)(b+c)
所以
（2a-3b+c)的三次方+（a+2b-5c)的三次方+（-3a+b+4c）的三次方
=-3（2a-3b+c＋a+2b-5c）（2a-3b+c-3a+b+4c）（a+2b-5c-3a+b+4c）
=-3（3a-b-4c）（-a-2b＋5c）（-2a＋3b-c）

Answer 4