Question

若函数F（X）＝㏒a（ax＾2＋2x＋a）　在区间【－4，－2】上递增　求实数a的取值范围

Answer 1

解答：
利用复合函数的单调性
t=ax²+2x+a,
y=loga(t)
∴t=ax²+2x+a 对称轴为t=-1/a，
又a>0且a≠1
（1）a>1时，y=loga(t)在定义域内是增函数，
∵函数F（X）＝㏒a（ax＾2＋2x＋a）　在区间【－4，－2】上递增
利用同增异减的法则，
t(x)=ax²+2x+a在【-4，-2】上是增函数，且t(x)≥t(-4)=3a-4>0
∴ -1/a≤-4且t(-4)=17a-8>0
∴ 0<a≤1/4且a>8/17
∴ 8/17<a≤1/4
又∵ a>1
∴ 无解
（2）0<a<1时，y=loga(t)在定义域内是减函数，
∵函数F（X）＝㏒a（ax＾2＋2x＋a）　在区间【－4，－2】上递增
利用同增异减的法则，
t(x)=ax²+2x+a在【-4，-2】上是减函数，且t(x)≥t(-2)=5a-4>0
∴ -1/a≤-2且t(-2)=5a-4>0
∴ 0<a≤1/2且a>4/5
又 0<a<1
∴ 4/5<a<1
综上，a的取值范围是4/5<a<1

Answer 2

讨论，设f（x）=ax^2+2x+a
0＜a＜1时，f（x）在【-4，-2】上递减
a＞1时，f（x）在【-4，-2】上递增
具体要考虑抛物线f（x），但是比较简单，因为a始终大于0

追问

怎样确定【-4，-2】ax^2+2X+a始终大于零 并且请告诉我此题的答案

Answer 3

令f（x）=㏒aU，U=ax²+2x+a ，①当0＜a＜1时，f（x）单减，若原函数在【-4，-2】上单增，则U单减，综上所述满足不等式-1/a≥-2，解得a≥1/2，则此时1/2≤a＜1②当a＞1时，f（x）单增，则U单增，满足1/a≤-4，则a≤-1/4，此时无解。 综合两者最后得1/2≤a＜1