Question

已知函数f(x)=2^x-1,对于满足0<x1<x2的任意x1,x2,给出下列结论:

(1)(x2-x1)*[f(x2)-f(x1)]<0,

(2)x2*f(x1)<x1*f(x2)

(3)f(x2)-f(x1)>x2-x1

(4)[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2],其中正确结论的序号是（）

求详解！！！
正确答案是（2）（4）

求解（3）为什么不对！！！

Answer 1

选（3），（4），我知道了
题目给的函数是一个增函数，所以斜率大于0的
（1）将该式改写为分式，不等号不变向，就表示两点（x1，f（x1））、（x2.，f（x2））连线的斜率，应该大于0 ，这个结论不对
（2）等式两边同时除以x1x2，发现他们的大小关系不能确定（实际上就是考虑y=（2^x - 1）/x的单调性，这个函数不单调）
（3）将等式两边同时除以（x2-x1），左边是两点连线所在直线的斜率（当x<0,斜率小于1；当x>0时，斜率大于1），所以这个结论对
（4）该函数是一个凹函数，这个结论是正确的

追问

答案是（2）（4）

莫要抄袭……

追答

你不是要过程么

追问

你（2）（3）的过程都错了……

追答

饿好吧
解（1）∵f（x）=2x-1为R上的单调增函数，故满足0＜x1＜x2的任意x1，x2，总有f（x1）＜f（x2），即f（x2）-f（x1）＞0，∴（x2-x1）[f（x2）-f（x1）]＞0，故（1）错误；
（2）设y=
f(x)
x
=
2x-1
x
=
f(x)-0
x-0
，其几何意义为f（x）图象上的点与原点连线斜率，由函数f（x）=2x-1在（0，+∞）上的图象可知y=
f(x)
x
为增函数，∵0＜x1＜x2，
∴
f(x 1)
x 1
＜
f(x 2)
x 2
，即x2f（x1）＜x1f（x2），（2）正确；
（3）∵函数f′（x）=2xln2，由x＞0，∴2xln2∈（ln2，+∞），即存在x0，使f′（x0）＜1，而f（x2）-f（x1）＞x2-x1⇔
f( x 2)-f( x 1)
x 2-x 1
＞1⇔函数f（x）在所给的区间上导数值恒大于1，∴（3）错误；
（4）
f(x1)+f(x2)
2
＞f（
x1+x2
2
）反映函数f（x）为凹函数，由f（x）=2x-1的图象可知此函数在（0，+∞）上确为凹函数，（4）正确
故正确结论的序号是：（2）、（4）

追问

求详解（3）。
青优网上的答案不懂……

Answer 2

按秋天爱紫色说的，除以（x2-x1)，f(x2)-f(x1)/x2-x1＞1画这个函数图像y1，再画y2=x，会发现在（0,1）内y1在y2的下方，在(1,+）内,y1在y2上方，就可比较是否大于1题目没有讨论