Question

二阶导数等于0是极值吗

定义域内一阶导数为零二阶导数也为零的点一定不是极值点?对吗?
(1)为啥不对?
(2)如果定义域内一阶导为零二阶导不为零,则一定为极值点,此命题正确是吧?为啥?

Answer 1

（1）y=x^3,在0点1阶导数、2阶导数都=0,但0不是它的极值点
（显然在0的任意邻域内都不是最大/最小值）
（2）二阶导不为零说明一阶导在该点附近的符号发生改变,所以一定是极值点
（二阶导>0说明一阶导在该点附近始终单增,而一阶导在该点又=0,
所以在该点左边一定一阶导0,那么显然就是极值点了）

Answer 2

（1）首先一阶导数为零不一定是极值，如y=x^3；

其次二阶导数为零，凹凸性不明，无法判断极值，如y=-x^4.

（2）结合上述回答第二个问题，一阶导数为零，说明可能有极值可能没有，再加上一个二阶导数不为零条件，就可以直接判断极值了。说明：二阶导数不为零可能出现大于零（凹函数）或小于零（凸函数）的情况。一阶导数为零的凹函数有极小值，一阶导数为零的凸函数有极大值。