Question

数学综合题

如图（1），在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A在Y轴正半轴上，二次函数Y=ax²+6分之1x+c的图像F交X轴于B、C两点，叫Y轴于点M，其中B（-3,0），M（0，-1）。已知AM=BC。
（1）求二次函数解析式
（2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式。
（3）在（2）的条件下，设直线L过点D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于点N。
①若直线L⊥BD，如图（1），试求BP分之1+BP分之1的值。
②若L为满足条件的任意直线，如图（2），①中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例。

Answer 1

(1)将B、M带入计算得y=1/6x²+1/6x-1
(2)要使ABCD是平行四边形，由图可知只能是AD//BC，且AD=BC
由（1）中y=1/6x²+1/6x-1与X轴交点可求得C（2,0）
∵B（-3，0），C（2,0） ∴BC=5
∵AM=BC,OM=1 ∴AO=AM-OM=BC-OM=5-1=4 ∴A（0,4）
∵AD//BC，且AD=BC ∴D（5,4）
设直线BD解析式y=kx+b
把B、D带入得解析式y=1/2x+3/2
(3)
①设直线L：y=kx+b
∵直线L⊥BD ∴1/2·k=-1 k=-2
由D（5,4）得-2x5+b=4 b=14 ∴直线L解析式为y=-2x+14
设直线BA:y=kx+b
把B、A带入得解析式y=4/3x+4
直线L与直线BA的交点是P，由两直线解析式建立方程组，解得x=3，y=8
∴p（3,8）
由B（-3,0），P（3,8）可求得BP=10
易得直线L与X轴的交点Q（7,0） ∴BQ=10
∴1/BP+1/BQ=1/5
②成立
由（2）AD//BC,CD//BA可证明△PAD～△PBQ,△QDC～△QPB
∴AP/PB=AD/BQ,QC/BQ=CD/PB 可得: AP·BQ=PB·AD ,QC·PB=BQ·CD
整理得:AP·BQ=PB·AD......①
CD·BQ=PB·QC......②
由①/②得：AP/CD=AD/QC, 则AP·QC=CD·AD
∵AP=BP-BA,QC=BQ-BC ∴(BP-BA)·(BQ-BC)=CD·AD
由B（-3,0），A（0,4）得BA=5，
∵BA=5,AD=5,ABCD是平行四边形 ∴ABCD是菱形 ∴CD=AD=5
则(BP-5)·(BQ-5)=5·5 整理得：1/BP+1/BQ=1/5
所以L与BD是否垂直与1/BP+1/BQ无关，1/BP+1/BQ是个定值。
提问题的小盆友题目第三问你抄错题了“试求BP分之1+BP分之1的值”

Answer 2

看题目这架势 应该是 中考试卷 压轴题 。。 有答案的 自己去百度找找把