Question

如图,在三角形ABC中,AM是BC边上的中线。求证:AM大于二分之一(AB+AC)

Answer 1

　　延长AM至N使MN=AM,，连结BN

       因为AM是三角形ABC的中线

       所以BM=CM

       因为AM=MN

              ∠AMC=∠ NMB

              BM=CM

       所以 △AMC≌△NMB(SAS)

       所以 AC=BN

       因为在△ABN中，AB+BN>AN

       所以AB+AC>AN

       因为AN=AM+MN=2AM

       所以AB+AC>2AM

       所以1/2(AB+AC)>AM

          即AM<1/2(AB+AC)

Answer 2

题目错误:应该是求证:AM>1/2(AB+AC)-BM,或者说是AM<1/2(AB+AC)

证明：在三角形ABM中，根据三角形两边之差小于第三边，得
AB-BM<AM ①
在三角形ACM中，根据三角形两边之差小于第三边，得
AC-CM<AM ②
又 AM是BC边上的中线
从而 BM=CM ③
因此 ①+②得 AB+AC-BM-CM<2AM
由③ 得 AB+AC-2BM<2AM
因此 AM<1/2(AB+AC-2BM)=1/2(AB+AC)-BM
∴AM大于二分之一(AB+AC)-BM
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延长AM到D 使MD＝AM，连接BD
三角形BMD和三角形CMA全等
所以BD=AC(1)
在三角形ABD中
两边之和大于第三边
AB+BD>AD(2)
AD=AM+MD=2AM(3)
由（1，2，3）得到2AM<AB+AC
即AM＜1／2（AB+AC）

追问

非常感谢 但是作业上就是这么出的 没打错啊 还有个条件是AB>AC

追答

那就是作业上错了,

追问

那我再看看 谢谢你

Answer 3

无法证···因为AM小于二分之一（AB+AC）···我去~

Answer 4

延长AM至P，使AM=AP。再过M作DM平行于BP，交AB于D(利用中位线的性质，D是中点)。在三角形ADM中，两边之差小于第三边。即AM大于二分之一(AB-AC)。