Question

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率e=√3/2,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.

1、求椭圆的方程。
2、设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0），点Q（0，y1）在线段AB的垂直平分线上，且向量QA乘向量QB=4，求y1的值。

Answer 1

1、依题设，得 e=√3/2=c/a a²=b²+c² 2a*2b/2=4 a>b>0
则 a=2 b=1 c=√3 故 椭圆的方程为 x²/4+y²=1。

2、设B点坐标（x0,y0）。
则AB中点M坐标为(-1+x0/2,y0/2)。
A(-2,0), 向量AB=(x0+2,y0),
Q(0,y1),向量QM=(1-x0/2,y1-y0/2).
向量QA=(-2,-y1),向量QB=(x0,y0-y1).
由题意,AB与QM垂直,(x0+2)(1-x0/2)+y0*(y1-y0/2)=0 -------(1)
QA*QB=4,即：(-2x0)-y1*(y0-y1)=4 ---------------------------(2)
另外，B在椭圆上，有：x0²/4+y0²=1 --------------------------(3)
由(3)得：x0=4-4y0² ------------------------------------------(4)
把(4)代入(1)得到：y0*(3y0+2y1)=0.
当y0=0时，x0=2, 得到y1=正负2√2。
当y0不等于0时，y1=-3y0/2 ------------------------------------(5)
把(5)代入(2)得：15y0²/4-4=2x0 ------------------------------(6)
由(3)和(6)解得：x0=-2(舍去)或x0=-2/15,y=正负2√66/15.
于是y1=正负√66/5。

综上，y1=正负2√2或正负√66/5（共4个解）。

追问

过程很详细，也不很麻烦。只是第3、4个解应是土4√14/15。非常感谢！

Answer 2

解：依题设，得 e=√3/2=c/a a²=b²+c² 2a*2b/2=4 a>b>0
则 a=2 b=1 c=√3 故 椭圆的方程为 x²/4+y²=1

追问

第二问呢，第一问我会的

追答

解：依题设，得 A(-2,0) 且 直线AB的斜率存在(若不存在，则只有一个交点A)
直线AB的方程设为y=k(x+2)，代入椭圆方程，得 (4k²+1)x²+16k²x+(16k²-4)=0
k=0时，B(2,0)，向量QA=(-2,-y1),向量QB=(2,-y1)，则 -2×2+(-y1)²=4，y1=±2√2；
k≠0时，xB-2=-16k²/(4k²+1)(韦达定理)，则 xB=(2-8k²)/(4k²+1) yB=4/(4k²+1)
∴ A,B中点为(-8k²/(4k²+1),2/(4k²+1)) 其垂直平分线为y-2/(4k²+1)=-[x+8k²/(4k²+1)]/k
令x=0，得 y1=(2-8k)/(4k²+1) 向量QA=(-2,-y1),向量QB=(xB,yB-y1)
又 向量QA*向量QB=4 即 -2xB-(yB-y1)*y1=4 k=±√6/4 y1=(4±4√6)/5

追问

算错了。而且设了k后后面变得超级麻烦。但很感谢你算这么用心！