Question

已知中点在原点，焦点在x轴上，离心率为2又根号5/5的椭圆

椭圆的一个顶点是抛物线y=1/4x^2的焦点，过椭圆有焦点F的直线l交椭圆与A、B两点，交y轴与点M，且向量MA=λ1向量AF，向量MB=λ2向量BF （1）求椭圆的方程 （2）证明：λ1+λ2为定值

Answer 1

（1）抛物线焦点坐标(0,1)，因其同时是椭圆的（上）顶点，∴ b=1；
又 已知 e=(2√5)/5（e不可能是2又5分之根号5），∴ a²=b²/(1-e²)=1/(1-20/25)=5；
椭圆的方程：x²/5+y²=1；
（2）c=2，椭圆右焦点F(2,0)，设过F的直线l方程为 y=k(x-2)，l与椭圆的交点横坐标Xa<Xb；
由向量MA=λ1向量AF → |MA|=λ1|AF| →利用直角三角形相似→ Xa/Xf=λ1/(1+λ1) → λ1=Xa/(Xf-Xa)；
同理，由向量MB=λ2向量BF →→ |MB|=-λ2|BF| →→ Xf/Xb=λ2/(1+λ2) →→ λ2=Xb/(Xf-Xb)；
λ1+λ2=Xa/(Xf-Xa)+Xb/(Xf-Xb)=Xa/(2-Xa)+Xb/(2-Xb)=2[(Xa+Xb)-Xa*Xb]/[4-2(Xa+Xb)+Xa*Xb]；
将l代入椭圆方程中得：x²/5+k²(x-2)²=1 →→ (1+5k²)x²-20k²x+20k²-5=0；
根据韦达定理，Xa+Xb=20k²/(1+5k²)，Xa*Xb=(20k²-5)/(1+5k²)；
λ1+λ2=2[20k²/(1+5k²)-(20k²-5) / (1+5k²)]/[4-2*20k²/(1+5k²)+(20k²-5)/(1+5k²)]
=2[20k²-(20k²-5)] / [4(1+5k²)-2*20k²+(20k²-5)]=2*5/(4-5)=-10；