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首先对被积函数，用待定系数法进行拆分。
未完待续
分别积分，注意换元变形。
供参考，请笑纳。
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I = ∫1/(1+x^3) dx = ∫A/(1+x) + (Bx+C)/(1-x+x^2) dx
A = 1/3; B = -1/3; C = 2/3
I = (1/3){∫1/(1+x) + (1/2)(-2x+1 +3)/(1-x+x^2) dx}
= (1/3)ln|1+x| - (1/6) ln|1-x-x^2| + (1/2)∫1/[(x-1/2)^2 + 3/4] dx
= (1/3)ln|1+x| - (1/6) ln|1-x-x^2| + (1/√3)arctan[(2x-1)/√3] + C
A = 1/3; B = -1/3; C = 2/3
I = (1/3){∫1/(1+x) + (1/2)(-2x+1 +3)/(1-x+x^2) dx}
= (1/3)ln|1+x| - (1/6) ln|1-x-x^2| + (1/2)∫1/[(x-1/2)^2 + 3/4] dx
= (1/3)ln|1+x| - (1/6) ln|1-x-x^2| + (1/√3)arctan[(2x-1)/√3] + C
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