Question

求高手做一道高中数学计算题21

Answer 1

解：f'(x)=1/x-a

(1) 由题可知，f'(1)=0,即1-a=0得a=1.

(2) 令f'(x)=0,可得x=1/a，

因为a>0,可知f(x)在(0,1/a)上单调递增，(1/a,+∞）上单调递减。

• 当1/a ≤1时，即a≥1时，f(x)在[1,2]上单调递减，此时：f(x)max=f(1)=-a;

• 当1< 1/a <2时，即1/2<a<1时，f(x)在[1,1/a)上单调递增，(1/a,2]上单调递减，                           此时：f(x)max= f(1/a)=-lna-1;

• 当2≤1/a时，即<0a≤1/2时，f(x)在[1,2]上单调递增，此时：f(x)max=f(2)=ln2-2a;

(3) 由题可知：2m=x^2/f(x),

不妨设g(x)=x^2/f(x)=x^2/(lnx+x) (x>0) 

则g'(x)=[2x(lnx+x)-x^2(1/x+1)]/(lnx+x)^2 =(2xlnx+x^2-x)/(lnx+x)^2 

易知g'(1)=0,且x<1时g'(x)<0，而x>1时g'(x)>0，

由此可知当g(x)>0时，g(1)为其极小值点，要满足题意，必有：2m=g(1)=1

∴m=1/2.