Question

已知m，n为正整数，有无数个整数a，使得a^n+a^2-1|a^m+a-1，求出所有的m，n

Answer 1

刚好答过差不多的一道题, 这里再贴一下.

设f(x) = x^m+x-1, g(x) = x^n+x^2-1.
设多项式带余除法f(x) = g(x)q(x)+r(x), 余式r(x)为0或次数小于g(x)的次数.
由带余除法的步骤, 这里的q(x)与r(x)都是有理系数多项式, 乘以适当正整数k后为整系数多项式.
∵k·f(x)/g(x) = k·q(x)+k·r(x)/g(x)在无穷多个整数上取整值, 而k·q(x)总取整值,
∴k·r(x)/g(x)在无穷多个整数上取整值.
若r(x)非零, 由其次数小于g(x), 对|x|充分大, 总有0 < |k·r(x)| < |g(x)|, 比值不为整数.
至多只有有限个x使其为整数, 矛盾.
∴r(x) = 0, g(x) | f(x).

若n = 1, 由x^2+x-1 | x^m+x-1, 有m ≥ 2, 且x^2+x-1 | x^m-x^2 = x^2(x^(m-2)-1).
而x^2+x-1与x^2互素, ∴x^2+x-1 | x^(m-2)-1.
x^2+x-1有两个实根(-1±√5)/2.
但若m > 2, x^(m-2)-1的实根只可能为1或-1, 不可能被x^2+x-1整除.
故n = 1时有m = 2 (易见满足条件).

若n = 2, 由2x^2-1 | x^m+x-1, 有m ≥ 2, 并可设x^m+x-1 = (2x^2-1)q(x).
容易证明q(x)必为整系数多项式(Gauss引理: 本原多项式的乘积为本原多项式).
比较首项系数即得矛盾.
故n = 2时无解.

若n ≥ 3, 由g(x) = x^n+x^2-1 | f(x) = x^m+x-1, 有m ≥ n.
∴g(x) | (x+1)f(x)-g(x) = x^(m+1)+x^m-x^n
又∵g(x)与x^n互素, ∴g(x) | x^(m+1-n)+x^(m-n)-1.
设h(x) = x^(m+1-n)+x^(m-n)-1.
∵h(x)不为零, g(x) | h(x), ∴m+1-n ≥ n, m ≥ 2n-1 ①.
由g(x) | h(x), g(x) = 0的所有解都是h(x) = 0的解.
注意到g(0) = -1, g(1) = 1, ∴存在b∈(0,1)使g(b) = 0, 于是也有h(b) = 0.
观察两个等式: b^n+b^2 = 1, b^(m-n+1)+b^(m-n) = 1.
∵0 < b < 1, m+1-n ≥ n, ∴b^(m-n+1) ≤ b^n, ∴b^(m-n) ≥ b^2, ∴m-n ≤ 2 ②.
综合①②得n+2 ≥ m ≥ 2n-1, 有n ≤ 3. 又由n ≥ 3, 故n = 3.
代回得5 ≥ m ≥ 5, 即m = 5.
最后, 易验证m = 5, n = 3时f(x)/g(x) = 1-x+x^2.

综上(m,n) = (2,1), (5,3)是所有满足要求的解.