Question

如何证明有理数集是可数集?

Answer 1

设An={1/n，2/n，3/n，...m/n...}，Q+=An的任意并是可数集，令$：Q+到Q-的映射，$（x）=-x，x属于Q+，显然$为Q+到Q-的一一映射，所以Q+与Q-等价，即Q-也可数，而Q=Q+并Q-并{0}，故有理数集是可数集。

可数集（Countable set），是指每个元素都能与自然数集N的每个元素之间能建立一一对应的集合。如果将可数集的每个元素标上与它对应的那个自然数记号，那么可数集的元素就可以按自然数的顺序排成一个无穷序列。

相关定理：

定理：最大元素数量的有限集或与最大数量有限集差固定常数的集合，是不可能写全的。最大元素数量有限集是无限趋近于无限集的，以至于没有手段进行判断。任何定义的无限集或有限集都需要满足此公理。

定理：位数最多的非无限循环有理数（如果存在的话）是不可能被写出的，尽管它的定义是有有限位，但它是无限趋近于无理数的，以至于没有手段进行判断。